- Option values are sensitive to volatility and stock price
- A better way to trade pure volatility is through volatility and variance swaps
- How to replicate a variance swap out of a portfolio of options that has the payoff of a log contract
- How to replicate a variance swap when volatility is stochastic
- Valuing the swap
- The consequence of errors in replication
The volatility sensitivity of an option
Black-Scholes-Merton partial differential equation
\[ \frac{\partial C}{\partial t} + rS\frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = rC \]
European call option
\[ C(S, K,\tau, \sigma, r) = SN(d_1) - K e^{-r\tau}N(d_2) \]
\[ d_{1, 2} = \frac{\ln{\frac{S}{K}} + (r \pm \frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma \sqrt{\tau}} \]
\[ N(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z}{e^{-\frac{1}{2}y^2}dy} \]
- Define \(v = \sigma\sqrt{\tau}\)
- assume the riskless rate is 0
\[ C(S, K, v) = SN(d_1) - KN(d_2) \]
\[ d_{1, 2} = \frac{1}{v}\ln{\frac{S}{K}} \pm \frac{v}{2} \]
2 option sensitivities to volatility
\[ V = \frac{\partial C}{\partial \sigma} = \frac{S\sqrt{\tau}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}d_1^2} \]
\[ \kappa = \frac{\partial C}{\partial \sigma^2} = \frac{S \sqrt{r}}{2 \sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}d_1^2} \]
- V: Vega
- \(\kappa\): kappa, variance vega
Vega and kappa for a vanilla European put and call are same.
Volatility and variance swaps
volatility와 variance는 stock price의 함수
volatility가 단순하게 높다고 하여 volatility betting에서 이익을 얻을 수 있는 것이 아니라, strike price와 stock price가 얼마나 차이가 나는지도 volatility betting의 수익을 결정
- 따라서 volatility betting의 payoff는 volatility를 맞추는 것과 stock price를 맞추는 것, 두 가지 모두의 영향을 받음
순수하게 volatility에 의해 payoff가 결정되는 financial instrument
- variance swap
Variance swap
- a forward contract on realized volatility
- At expiration, it pays the difference in dollars between the realized volatility and agreed-upon volatility
The value of a volatility swap at expiration
\[ \pi = N(\sigma_R - \sigma_K) \]
- N: notional amount
The value of a variance swap at expiration
\[ \pi = N(\sigma_R^2 - \sigma_K^2) \]
You can think of the variance swap as a swap of floating variance for fixed variance
Assuming \((\sigma_R - \sigma_K)\) to be small and keeping only first-order terms, the apyoff of a vraiance swap in terms of a volatility swap as follows:
\[ \sigma_R^2 - \sigma_K^2 \approx 2 \sigma_K (\sigma_R - \sigma_K) \]
volatility를 계산하는 방식도 굉장히 중요
- observed return을 mean으로 잡지 않고, mean return을 0으로 잡고 annualized volatility를 standard deviation으로 계산
또한 market participants들이 volatility에 익숙하기 때문에 volatility swap, variance swap 모두 volatility 값으로 quotation
Replacing volatility swaps
The payoff of the variance swap is always greater than or equal to the value of the volatility swap.
- 그래서 variance swap이 volatility swap보다 더 선호됨
variance swap으로 volatility swap을 replicationg하는 것은 volatiltiy의 volatility를 알아야 하는 복잡한 작업
Replicating variance swaps out of options in a Black-Scholes-Merton world
CDS는 credit spread에 순수하게 exposure를 취할 수 있도록 개발됨. 마찬가지로 variance swap은 volatility에 순수하게 exposure를 취할 수 있도록 개발됨.
variance swap의 replicating은 delta-hedging 아이디어를 활용
\[ Profit = \frac{1}{2}\Gamma S^2 (\sigma_R^2 - \Sigma^2) dt \]
- \(\Sigma\): implied volatility
The hedged position is sensitive to the difference between the fixed and the realized variance, which is almost exactly the dependence we require for a variance swap.
- 다만 \(\Gamma S^2\) 부분이 시간이 지나면 변하고, stock price의 dependence를 보여주기 때문에 위 profit formula는 pure volatility exposure가 아님
- dynamic hedging으로 해당 부분을 상쇄시켜 pure volatility exposure를 구현할 수도 있지만 이론적인 이야기
\[ \Gamma = \frac{1}{S^2} \]
이 경우 시간과 무관하게 static hedging을 통해 stock price exposure를 없앨 수 있음
- 하지만 vanilla option of the stock으로는 구현이 불가능하기 때문에 vanilla option의 portfolio를 구성해야 함
- variance sensitivity인 kappa를 활용해서 BSM model이 맞다고 가정하고 replicating이 가능
option의 variance change에 대한 sensitivity인 kappa는 strike price가 높아지면 높아질수록 높아짐
- 이 때문에 strike price가 높은 option은 덜 사도 되고, strike price가 낮은 option은 더 사서 portfolio를 구성해야 함
The value of the portfolio is then given by
\[ \pi(S) = \int_0^{\infty}{\rho(K) C(S, K, v)dK} \]
이렇게 구성한 portfolio에서 weight인 \(\rho(K) = 1 / K^2\)인 경우 stock price에 independent한 kappa를 얻을 수 있음
\[ \kappa(S, K, v) = \frac{\partial C}{\partial \sigma^2} = \frac{S\sqrt{\tau}}{2 \sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}d_1^2} \]
The variance sensitivity of the entire portfolio is
\[ \kappa_\pi = \frac{\partial \pi}{\partial \sigma^2} = \frac{\sqrt{\tau}}{2\sigma\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty}{\rho(K)Se^{-\frac{1}{2}d_1^2}dK} \equiv \int_0^{\infty}{\rho(K) Sf(\frac{K}{S}, v, \tau)dK} \]
\[ f(\frac{K}{S}, v, \tau) = \frac{\sqrt{\tau}}{2\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}d_1^2} \]
continuous하게 replicating하는 것을 가정했기 때문에 infinite number of option이 필요함
A portfolio of vanilla options with \(1/K^2\) weights produces a log payoff
OTM put, OTM call은 인기가 많아서 liquid하고, ITM put, ITM call은 인기가 없어서 illiquid함
infinite number of option을 이용해서 replicating을 할 때, 일정 break point인 S*까지는 put으로, 그 이후는 call로 구성해야 함
만기시에 가격이 break point보다 높은지 낮은지에 따라 손익을 계산할 수 있는데 이 둘은 같음
이렇게 구성한 포트폴리오의 만기시 payoff는 다음과 같음
첫 번째 항은 break point를 기점으로 한 return을 표시했으나, 두 번째 항은 log contract라고 하는 exotic option의 일종
payoff diagram을 그리면 다음과 같이 나타남
모든 option으로 replicating을 하고, 해당 option은 BSM으로 가치가 계산되었으며, riskless rate이 0이라고 가정했을 때, 만기 전 payoff를 다음과 같이 나타낼 수 있음
\[ \pi(S, S^*, v) = \frac{S - S^*}{S^*} - \ln\frac{S}{S^*} + \frac{1}{2}v^2 \]
This close similarity between the value at expiration and prior to expiration is a consequence of the simple behavior of a logarithmic function of the stock price under Geometric Brownian motion.
Value of a log contract in the Black-Scholes-Merton world
만기 시점 log contract의 payoff
\[ L(S, S^*) = \ln\frac{S_T}{S^*} \]
만기 이전의 payoff는 어떨까
riskless rate이 0이라고 가정하고
short position
sensitivity to stock price 부분을 제거하기 위해서는 delta hedge를 해야 하는데, log contract의 delta는 \(-\partial L / \partial S = -1/S\)이므로 1/S shares를 보유하는 것만으로 delta hedge가 가능
kappa가 (T - t)/2, 이 부분을 정리하려면 2/T만큼 portfolio를 scale up해주면 됨
이렇게 정리하면 t = 0일 때, kappa = 1
\(S = S_0 = S^*\)인 경우 아래 식으로 정리됨
따라서 최종적으로 정리한 payoff는 다음과 같음
Proof that the fair value of a log contract with \(S^* = S_0\) is the realized future variance
log contract hedging으로 어떻게 the variance of stock을 replicate 할 수 있는지 step-by-step
log contract는 만기 시에 \(\ln{(S_T / S_0)}\)를 payoff로 가짐
- riskless rate은 0으로 가정
계속 반복하면 해당 position의 final value는 다음과 같음
첫 번째 summation에 Taylor expansion 적용, second order까지만 가져와서 approximation
riskless rate이 0이고, no risk arbitrage principle이 적용될 때
따라서 log contract의 initial value는 다음과 같음
The present value of the log contract is proportional to the future realized variance over the life of the contract.
Replicating variance when volatility is stochastic
stock price가 어떻게 움직이더라도 여전히 variance swap을 replication 할 수 있다.
Assume that stock returns follow a general diffusion process described by the following equation
\[ \frac{dS}{S} = \mu_t dt + \sigma_t dZ \]
where the drift, and especially the volatility, can be stochastic, and the riskless rate r is not assumed to be zero. By Ito’s lemma, we have
\[ d\ln S = \left(\mu_t - \frac{\sigma_t^2}{2}\right)dt + \sigma_t dZ \]
\[ \frac{dS}{S} - d\ln S = \frac{1}{2} \sigma_t^2 dt \]
\[ \frac{1}{T} \int_0^T{\sigma_t^2 dt} = \frac{2}{T} \left[\int_0^T{\frac{1}{S}dS} - \ln{\left(\frac{S_T}{S_0}\right)}\right] \]
The left-hand side of Equation 4.32 is simply the average total future variance over the life of the contract, the object of our interest. This mathematical identity dictates the replication strategy for variance. The first term in the brackets can be thought of as the net outcome of continuously rebalancing a stock position so that it is always instantaneously long 1/S shares of stock worth $1. The second term represents a static short position in a contract that, at expiration, pays the logarithm of the total return. Following this continuous rebalancing strategy captures the realized variance of the stock from inception to expiration at time T.
Equation 4.32 guarantees that variance can be captured no matter which path the stock price takes, as long as it moves continuously.
Valuing the variance
the expected cost of the variance replication is given by
\[ \pi(S_0, S_0, 0, T) = \frac{2}{T}E\left[\int_0^T{\frac{1}{S}dS} - \ln{\left(\frac{S_T}{S_0}\right)}\right] \]
where E[] denotes the expected value in a risk-neutral world.
In the risk-neutral world,
\[ E\left[\int_0^T{\frac{1}{S}dS}\right] = rT \]
Here P(K, T) and C(K, T) denote the values at expiration time T of puts and calls respectively with strike K, and \((S_T - S^*) / S^*\)is the payoff of 1 / S* forward contracts on the stock with a delivery price of S*.
In the risk-neutral world,
This result is independent of how volatilities vary between inception and expiration, as long as geometric Brownian motion for the stock price still holds. The final value depends only on the initial prices of the puts and calls, which are taken directly from the market.
- volatility의 from inception to expiration path와 무관하게 final value는 inception 당시 volatility strike price와 만기 시점의 realized volatility의 차이로 결정됨
Replicating with a finite number of options
A possible solution is to use the piecewise-linear replication.
The continuous function approaches infinity as \(S_T\) approaches zero, and is defined for all positive prices.
In this way, the market price of variance can be approximated using a finite set of puts and calls. This result is independent of how volatility varies in the future, and the prices of the options in the replicating portfolio can be taken directly from the market.
- finite number of option이라는 현실적 제약에서도 approximation을 통해 variance swap을 replication하면 마찬가지로 independent of how volatility varies in the future
다만, piecewise-linear approximation은 항상 true curve의 위에 위치하는 것을 확인할 수 있는데, 이는 variance swap의 가치를 항상 overestimate한다는 단점을 가진다.
- option 숫자를 늘리면 점점 true curve로 가까워진다.
If the range of options used in our replicating portfolio is too narrow, however, the absence of these segments can cause us to underestimate the value of a variance swap.
option 숫자를 늘린다고 문제가 쉽게 해결되진 않는다. 모든 option이 liquid하진 않기 때문이다. 여기에는 여러 해결책이 있는데
- One potential solution would be to interpolate prices between available options
- A potentially better solution is to assume a certain structure for the volatility smile
if we are willing to assume that implied volatility is linear in the strike or delta for all strikes, the value of a variance swap can be calculated using very simple closed-form solutions.
Errors in replication
perfect하게 variance swap을 replication을 하려면 모든 행사가격에 해당하는 옵션의 가격을 전부 알아야 하고, infinite number of option이 필요하다.
If valuation is based on a replication strategy that is possible only in theory, how should the price of a variance swap differ in practice?
- 굉장히 이론적인 field에서 variance swap을 replication을 통해 value를 계산했는데, 그렇다면 현실에서는 어떻게 이를 해결하나?
그래서 현실에서는 theoretical price에 premium을 붙인 채로 거래가 되고 있다.
limited number of strike price는 다음 2개의 문제를 발생시킨다.
- strike 가격 간 gap이 있다보니, option의 연속적인 가격을 구할 수 없고
- 행사가격에 범위가 있다보니, 해당 범위를 벗어나면 replication을 할 수 없다
현실에서는 range 안에 있는 strike price는 approximation으로 해결하고, range를 벗어나면 stock price가 해당 range로 넘어가지 않을 것이라고 가정하는 방식으로 해결한다.
혹시라도 extreme movement로 인해 price가 range를 벗어날 수 있다면 만기가 긴 option에서 더 넓은 range를 활용하는 방식으로 해결할 수 있다.
theoretical field에서는 stock price에 jump가 없다고 가정을 했는데, jump가 있는 현실에서는 2가지 문제를 발생시킨다.
- jump로 인해 price가 range를 순식간에 벗어날 수 있다
- long contract를 hedging하는 부분에서 higher order term이 필요할 수 있다
continuous를 가정하면 Taylor expansion을 통해 전개한 식에서 3차항 이상은 작아서 무시해도 되지만, jump가 있는 세계에서는 variance의 가치에 3차항의 영향력이 커져서 포함하여 계산을 해야 하는 문제가 생긴다.
The VIX volatility index
In 1993 the Chicago Board Options Exchange (CBOE) created a volatility index, the VIX, which was meant to track the implied volatility of S&P 100 options. The index was based on a weighted average of various at-the-money and out-of-the-money implied volatilities.
In 2003, the CBOE changed the underlying index for the VIX from the S&P 100 to the S&P 500. At the same time, it changed the calculation of the VIX, basing it on the square root of the fair delivery price of a variance swap, using a valuation formula similar to Equation 4.38 (the formula the CBOE uses included dividends).
The precise formula for the variance involves a finite sum over the market prices of traded options on the S&P 500 with a range of strikes, one sum for options with expirations less than 30 days and another sum for options with expirations greater than 30 days. The CBOE then interpolates between the two variances to arrive at a 30-day volatility.
VIX는 BSM formula를 가정하지 않고, 오직 S&P 500이 continuous하다는 점만 가정한다.